【選択公理】任意の集合に選択関数が存在する. [⇔]「任意個の非空集合」の直積は空でない. http://alg-d.com/math/ac/ac.html [⇔] 「互いに素な,任意個の非空集合」の族は選択集合を持つ. http://alg-d.com/math/ac/ac.html [⇔]「濃度が互いに等しい,任意個の非空集合」の直積は空でない. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 全射 F:A→B に対して,FG=id_B となるような写像 G:B→A が存在する. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 空でない集合Aと写像 F:A→B に対して,写像 G:B→A が存在して FGF=F となる. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 任意の二項関係Rに対し,ある関数fが存在してdom(R)=dom(f)かつf⊂R.[ 即ち,∀x∈dom(f)に対しxRf(x) ] [⇔] 任意の集合は射影的. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 任意の集合は射影的な集合に含まれる. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] ∀x∈X∃y∈X xRy を満たす二項関係R⊂X×Xに対し,写像 f: X→X で ∀x∈X xRf(x) を満たすものが存在する. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 集合族{X_λ}に対し,互いに素な集合の族{Y_λ}で「Y_λ⊂X_λ,∪Y_λ = ∪X_λ」を満たすものが存在する. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 集合B⊂Aと全射 f:A→B があるとき,任意の g:A→B に対してある h:A→A が存在して g=fh となる. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 集合B⊂Aと全射 f:A→B があるとき,任意の全射 g:A→B に対してある h:A→A が存在して g=fh となる. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔] 集合B⊂Aと全射 f:A→B があるとき,写像 g:A→B が g|_B=id_B を満たすならば,ある h:A→A が存在して g=fh となる. http://alg-d.com/math/ac/set.html [⇔]【Zornの補題】順序集合Xが「Xの部分全順序集合には上界が存在する」を満たすならば,Xの極大元が存在する. http://alg-d.com/math/ac/wo_z.html [⇔] 順序集合Xが「Xの部分全順序集合には上限が存在する」を満たすならば,Xの極大元が存在する. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 順序集合Xが「Xの部分整列順序集合には上界が存在する」を満たすならば,Xの極大元が存在する. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 集合X上の推移的関係Rが「Xの部分集合でRによって全順序付けされるものには上界が存在する」を満たすならば,xの極大元が存在する. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 集合X上の推移的関係Rが「Xの部分集合でRによって整列順序付けされるものには上界が存在する」を満たすならば,xの極大元が存在する. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 集合X上の推移的関係Rに対し,Rによって全順序付けされる極大部分集合が存在する. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔]【Tukeyの補題】有限性をもつ集合は(⊂について)の極大元をもつ.[ 集合Xが有限性を持つとは「a∈X ⇔ aの任意の有限部分集合bに対しb∈X」] http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 任意の集合Xに対し「任意の元x, y∈Yに対しx∈yまたはx=yまたはy∈x」となるような極大部分集合Y⊂Xが存在する. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 任意の前順序集合は極大全順序部分集合を持つ. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔]【Hausdorff's Maximal chain Condition】任意の順序集合は極大全順序部分集合を持つ. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 任意の前順序集合は極大反鎖を持つ.[ 前順序集合(X,≦)の反鎖とは,A⊂Xで「∀x∀y∈A(¬x≦yかつ¬y≦x)」を満たすもの ] http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔]【Kurepa's Maximal Antichain Condition】任意の順序集合は極大反鎖を持つ. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 任意の木は極大全順序集合を持つ.[ 木とは順序集合(T, ≦)で「∀t∈Tに対し{x∈T|x≦t}は≦によって全順序集合になる」を満たすもの ] http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 任意の集合X上の二項関係Rに対し,Y×Y⊂Rとなるような極大部分集合Y⊂Xが存在する. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔] 順序集合Xが「「任意の元x,y∈Aに対し{x,y}⊂AはAに上界を持つ」を満たす任意のA⊂Xが上界を持つ」を満たすならば,Xは極大元を持つ. http://alg-d.com/math/ac/zorn.html [⇔]【整列可能定理】任意の集合は整列可能.[ Xが整列可能とは,ある順序関係≦で「Xの任意の部分集合が(≦についての)最小元を持つ」を満たすものが存在すること ] http://alg-d.com/nath/ac/wot_zl.html [⇔] 任意の集合Xに対して,ある順序数αと全単射 X→αが存在する. http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対して,ある順序数αと全射α→X が存在する. http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対して,ある順序数αと単射 X→αが存在する. http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の全順序集合は整列可能. http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] Xが整列可能ならば,冪集合 Power(X) も整列可能. http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の順序数αに対し,冪集合 Power(α) は整列可能. http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 選択関数を持つ集合は整列可能. http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] Xが有限集合 ⇔ (X, ≦)が整列順序ならば(X, ≧)も整列順序 http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対し WO(X, m).[ m≧2は整数.WO(X, λ):=「ある順序数α上で定義された関数fが存在して∀β<α(|f(β)|<λ) かつ X=∪_{β<α}f(β)」] http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] ある整数m≧2が存在して,任意の集合Xに対し WO(X, m). http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対しある整数m≧2が存在して WO(X, m). http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 任意の集合Xに対し WO(X, ∞). http://alg-d.com/math/ac/wot.html [⇔] 空集合を含まない集合Xに対し AC(X, m).[ m≧2は整数.AC(X, λ):=「X上で定義された関数fが存在して f(x)⊂xかつ0<|f(x)|<λ」] http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔] ある整数m≧2が存在して,空集合を含まない集合Xに対し AC(X, m). http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔] 空集合を含まない集合Xに対しある整数m≧2が存在して AC(X, m). http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔]【the Axiom of Multiple Choice】非空集合の族{X_λ}_{λ∈Λ}に対して,写像 f:Λ→Power(∪X_λ) で「f(λ)⊂X_λ,0<|X_λ|<∞」を満たすものが存在する. http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔]【Odd Axiom of Choice】非空集合の族{X_λ}_{λ∈Λ}に対して,写像 f:Λ→Power(∪X_λ) で「f(λ)⊂X_λ,|X_λ|は奇数」を満たすものが存在する. http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔]【Even Axiom of Choice】非空集合の族{X_λ}_{λ∈Λ}に対して,写像 f:Λ→Power(∪X_λ) で「f(λ)⊂X_λ,|X_λ|は0でない偶数」を満たすものが存在する. http://alg-d.com/math/ac/amc.html [⇔]【濃度の比較可能性】任意の集合A, Bに対し,単射A→B または 単射B→A が存在する. http://alg-d.com/math/ac/trichotomy.html [⇔] 任意の濃度μに対して「μ≦κ≦2^μ, μ≦λ≦2^μ なる濃度 κ, λ は比較可能」 http://alg-d.com/math/ac/trichotomy.html [⇔] μ < 2^κ ならばκとμは比較可能. http://alg-d.com/math/ac/trichotomy.html [⇔] κ_0, κ_1≧|N| とする.以下の条件を満たすときκ_0とκ_1は比較可能である.【あるμ≧κ_0, κ_1が存在して,任意のν_0, ν_1 に対して「κ_0+ν_0=κ_1+ν_1=μ⇒ν_0=ν_1 」】 http://alg-d.com/math/ac/trichotomy.html [⇔] 任意のX, Yに対して |F(X)|と|F(Y)| は比較可能. [ F(X) := Xの有限部分集合全体 ] http://alg-d.com/math/ac/trichotomy.html [⇔] 任意のX, Yに対して |X|と|F(Y)| は比較可能. http://alg-d.com/math/ac/trichotomy.html [⇔] 任意のX, Yに対して |X|≦|F(Y)| または |Y|≦|F(X)| http://alg-d.com/math/ac/trichotomy.html [⇔]【Koenigの定理】各λ∈Λに対して |X_λ|≦|Y_λ| ならば |∪_{λ∈Λ}X_λ| < |Π_{λ∈Λ}Y_λ| である. http://alg-d.com/math/ac/koenig.html [⇔] 各λ∈Λに対して |X_λ| < |Y_λ| ならば |∪_{λ∈Λ}X_λ|≦|Π_{λ∈Λ}Y_λ| である. http://alg-d.com/math/ac/koenig.html [⇔] 各λ∈Λに対して |X_λ| < |Y_λ| ならば |∪_{λ∈Λ}X_λ|≧|Π_{λ∈Λ}Y_λ| でない. http://alg-d.com/math/ac/koenig.html [⇔] 任意の集合A, Bに対し,全射A→B または 全射B→A が存在する. http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限濃度λ, μに対しλ・μ=λ+μ. http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限濃度λに対しλ=λ^2. http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限濃度λ, μに対しλ+μ=λまたはλ+μ=μ. http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限濃度λ, μに対しλ・μ=λまたはλ・μ=μ. http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 任意の無限集合Xに対し |X|=|Xの有限部分集合全体| http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] |A|<|A∪B|かつ|B|<|A∪B| ならば A∪Bは有限集合 http://alg-d.com/math/ac/card.html [⇔] 全射 f:X→Y と全射 g:Y→X に対して,全単射 h:X→Y で h⊂f∪g^-1 を満たすものが存在する. http://alg-d.com/math/ac/bernstein.html [⇔] 全射 f:X→X に対して,全単射 h:X→X で h⊂f∪f^-1 を満たすものが存在する. http://alg-d.com/math/ac/bernstein.html [⇔]【Tychonoffの定理】コンパクト空間の直積はコンパクト. http://alg-d.com/math/ac/tychonoff.html [⇔]「コンパクトなT_1空間」の直積はコンパクト. http://alg-d.com/math/ac/tychonoff.html [⇔]「開集合が有限個な空間」の直積はコンパクト. http://alg-d.com/math/ac/tychonoff.html [⇔]「開集合が丁度3個しかない空間」の直積はコンパクト. http://alg-d.com/math/ac/tychonoff.html [⇔]「互いに同相なコンパクト空間」の直積はコンパクト. http://alg-d.com/math/ac/tychonoff.html [⇔]「互いに同相な,開集合が丁度3個しかない空間」の直積はコンパクト. http://alg-d.com/math/ac/tychonoff.html [⇔] コンパクト⇒Alexandroff-Urysohnコンパクト [XがAlexandroff-Urysohnコンパクト⇔Xの無限部分集合は完備集積点を持つ.x∈XがA⊂Xの完備集積点⇔xの開近傍Uに対し|A|=|A∩U|] http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] コンパクト⇔Alexandroff-Urysohnコンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の有限和は Alexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] 開集合が有限個の位相空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] 密着位相空間の有限和はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の有限直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] 開集合が有限個な空間の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] 有限離散位相の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] 2 := {0, 1} の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] Tychonoff-コンパクト空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] [0, 1]の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト http://alg-d.com/math/ac/auc.html [⇔] {X_λ}が位相空間の族のとき,部分集合A_λ⊂X_λについて cl(ΠA_λ)⊃Πcl(A_λ) [ clは閉包を表す ] http://alg-d.com/math/ac/close.html [⇔] {X_λ}が位相空間の族,{}≠A_λ⊂X_λを部分集合とする.ΠA_λ⊂ΠX_λ が閉集合ならば各A_λ⊂X_λも閉集合である. http://alg-d.com/math/ac/close.html [⇔] {X_λ}が位相空間の族,{}≠A_λ⊂X_λを部分集合とする.ΠA_λ⊂ΠX_λ が閉集合ならばあるA_λ⊂X_λが閉集合である. http://alg-d.com/math/ac/close.html [⇔] 任意の位相空間は極大なT_0部分空間を持つ. http://alg-d.com/math/ac/subsp.html [⇔] 任意の位相空間は極大なT_1部分空間を持つ. http://alg-d.com/math/ac/subsp.html [⇔] 任意の位相空間は稠密なT_0部分空間を持つ. [⇔] 任意の位相空間はcodenseなT_0部分空間を持つ. [⇔] 任意の位相空間はthickなT_0部分空間を持つ. [⇔] 正規空間の和は正規 http://alg-d.com/math/ac/nor_sup.html [⇔] スーパーコンパクト空間の直積はスーパーコンパクト http://alg-d.com/math/ac/nor_sup.html [⇔] 任意の位相空間はLoeb空間である. [ 位相空間XがLoeb空間 ⇔ Xの閉集合全体がなす集合が選択関数を持つ] http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] 任意の離散位相空間はLoeb空間である. http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] 任意の位相空間は弱Loeb空間である. [ 位相空間Xが弱Loeb空間 ⇔ Xの閉集合全体がなす集合がmultiple choice functionを持つ] http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] 任意の離散位相空間は弱Loeb空間である. http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] 弱Loeb空間の開部分空間は弱Loeb空間である. http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] 任意のコンパクトHausdorff空間は,整列可能な稠密部分集合を持つ. http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] 任意のコンパクトHausdorff空間は,整列可能な基底を持つ. http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] コンパクトHausdorff空間の任意の点は,整列可能な基本近傍系を持つ. http://alg-d.com/math/ac/loeb_sp.html [⇔] 任意の非空集合に群構造を定義する事ができる. http://alg-d.com/math/ac/gp.html [⇔] 任意の非空集合にアーベル群の構造を定義する事ができる. http://alg-d.com/math/ac/gp.html [⇔] 任意の非空集合に(1の存在を仮定しない結合分配)環の構造を定義する事ができる. http://alg-d.com/math/ac/gp.html [⇔] 任意の無限集合に体の構造を定義する事ができる. [⇔] G をアーベル群,H を部分群とすれば,G/H の完全代表系が存在する. http://alg-d.com/math/ac/quotient_gp.html [⇔] G をアーベル群,H を部分群とする. もし G/H の任意の元の位数が2以下ならば,G/H の完全代表系が存在する. http://alg-d.com/math/ac/quotient_gp.html [⇔] Gを集合Xで生成される自由群とする.任意の部分群H⊂Gは,あるNielsen集合A⊂Gで生成される自由群になる. http://alg-d.com/math/ac/nielsen_schreier.html [⇔] Gを集合Xで生成される自由群とする.任意の部分群H⊂Gは,あるレベルA⊂Gで生成される自由群になる. http://alg-d.com/math/ac/nielsen_schreier.html [⇔] 非自明群の族 { G_λ }_{λ∈Λ} に対して,「任意のλ∈Λに対してg_λ≠e_λ」を満たす元 (g_λ)∈ΠG_λ が存在する. http://alg-d.com/math/ac/direct_product.html [⇔] 環の族 { R_λ }_{λ∈Λ}で「任意のλ∈Λに対して |R_λ|≧3 」を満たすものに対して,「任意のλ∈Λに対してx_λ≠0_λ, 1_λ」を満たす元 (x_λ)∈ΠR_λ が存在する. http://alg-d.com/math/ac/direct_product.html [⇔] 任意の線型空間に基底が存在する. http://alg-d.com/math/ac/basis.html [⇔] (任意の体上の)線型空間の生成系は基底を含む. http://alg-d.com/math/ac/basis.html [⇔] 有理数体上の線型空間の生成系は基底を含む. http://alg-d.com/math/ac/basis.html [⇔] 2元体上の線型空間の生成系は基底を含む. http://alg-d.com/math/ac/basis.html [⇔] 任意の一般化線型空間に基底が存在する. http://alg-d.com/math/ac/basis.html [⇔]【Krullの定理】1(≠0)を含む可換環は両側イデアルを持つ. http://alg-d.com/math/ac/krull.html [⇔] 右単位元(≠0)を含む環は極大左イデアルを持つ. http://alg-d.com/math/ac/krull.html [⇔] 右単位元(≠0)を含む環は極大両側イデアルを持つ. http://alg-d.com/math/ac/krull.html [⇔] 冪等元(≠0)を含む環は極大左イデアルを持つ. http://alg-d.com/math/ac/krull.html [⇔] 左半中心冪等元(≠0)を含む環は極大両側イデアルを持つ. http://alg-d.com/math/ac/krull.html [⇔] 一意分解整域は極大イデアルを持つ. http://alg-d.com/math/ac/krull.html [⇔] 任意の環は部分直既約な環の部分直積である. http://alg-d.com/math/ac/subdirect.html [⇔] 任意の一意分解整域は部分直既約な環の部分直積である. http://alg-d.com/math/ac/subdirect.html [⇔] 任意の環Rに対して,ある部分直既約な環S≠0と全射環準同型R→Sが存在する. http://alg-d.com/math/ac/subdirect.html [⇔] 任意の一意分解整域Dに対して,ある部分直既約な環S≠0と全射環準同型D→Sが存在する. http://alg-d.com/math/ac/subdirect.html [⇔] 任意の集合が射影的. http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html [⇔] 任意の集合 X に対して,射影的な集合 Y が存在して X⊂Y. http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html [⇔] 任意の単項イデアル整域 R に対して,可除R-加群は入射的 http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html [⇔] 可除アーベル群は入射的 http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html [⇔] 任意の環 R に対して,任意の自由R-加群は射影的 http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html [⇔] 任意の自由アーベル群は射影的 http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html [⇔] ある環 R が存在して,任意の自由R-加群は射影的 http://alg-d.com/math/ac/inj_proj.html [⇔] 任意の有界束は極大フィルターを持つ. http://alg-d.com/math/ac/lattice.html [⇔] 任意の完備束は極大フィルターを持つ. http://alg-d.com/math/ac/lattice.html [⇔] 任意の分配有界束は極大フィルターを持つ. http://alg-d.com/math/ac/lattice.html [⇔] 任意のclosed latticeは極大フィルターを持つ. http://alg-d.com/math/ac/lattice.html [⇔] 全順序な完備束はcompletely distributive.(完備束がcompletely distributiveとは任意個の∧,∨に関する分配法則が成り立つこと.) http://alg-d.com/math/ac/lattice.html [⇔] powerset latticeはcompletely distributive. http://alg-d.com/math/ac/lattice.html [⇔] 完備束{0, 1}はcompletely distributive. http://alg-d.com/math/ac/lattice.html [⇔] 任意の集合Xに対して,contraction P(X)\{}→E(X) が存在する.[順序集合Xと部分順序Yに対して,写像φ:X→Yがcontraction⇔任意のx∈Xに対してφ(x)≦x.] http://alg-d.com/math/ac/constructive.html [⇔] 任意の集合Xに対して,contraction P(X)\{}→F(X) が存在する. http://alg-d.com/math/ac/constructive.html [⇔] (X, ≦)は順序集合,非空集合Y⊂X が上限sを持つとき,sはYのconstructive supremum.[sがYのconst. sup.⇔ψ: X→Y が存在して,任意のx∈Xに対して「s≦x⇔ψ(x)≦x」] http://alg-d.com/math/ac/constructive.html [⇔] (X, ≦)を完備束として,非空集合Y⊂X の上限をsとする. このときsはYのconstructive supremumである. http://alg-d.com/math/ac/constructive.html [⇔] (X, ≦)をpowerset latticeとして,非空集合Y⊂X の上限をsとする. このときsはYのconstructive supremumである. http://alg-d.com/math/ac/constructive.html [⇔] 任意の有向集合はconstructively directedである. http://alg-d.com/math/ac/constructive.html [⇔] 「Hahn-Banachの定理によって存在が保証される線型汎関数の全体」がなす集合はある種の極大元をもつ. http://alg-d.com/math/ac/hahn_banach.html [⇔] 「Hahn-Banachの定理によって存在が保証される線型汎関数の全体」がなす集合はextreme pointを持つ. http://alg-d.com/math/ac/hahn_banach.html [⇔] 「実ノルム空間の双対空間」の単位球体はextrime pointを持つ. http://alg-d.com/math/ac/extreme.html [⇔] 任意個の∩,∪についての分配法則 http://alg-d.com/math/ac/distributivity.html [⇔]【Loewenheim-Skolemの定理】 [⇔]【上昇Loewenheim-Skolemの定理】 [⇔]【下降Loewenheim-Skolemの定理】 [⇒] 無限集合は自身と同じ濃度を持つ真部分集合を含む. http://alg-d.com/math/ac/d_finite.html [⇒] 無限集合は可算無限部分集合を含む. http://alg-d.com/math/ac/d_finite.html [⇒] 任意の集合 X に対して |X|≦|N| または |X|≧|N|. http://alg-d.com/math/ac/d_finite.html [⇒]【双対Bernsteinの定理】全射 f: X→Y と全射 g: Y→X が存在すれば,全単射 h: X→Y が存在する. http://alg-d.com/math/ac/bernstein.html [⇒]【可算和定理】可算集合の可算個の和集合は可算. [⇒] cf(ω_1) > ω [⇒]【順序付け原理】任意の集合は全順序付けられる.[ Gonzalez, 1995 ] [⇒]【稠密順序付け原理】任意の無限集合は稠密に全順序付けられる.[ Pincus, 1997 ] [⇒]【Kinna-Wagner原理】任意の集合は「ある順序数の冪集合」の中へ1対1に埋め込む事ができる. [⇒]【Banach-Tarskiのパラドクス】(中身の詰まった)球体を有限個に分割し,上手く組み立てると,初めと同じ大きさの球体が2つになる. [⇒]【Nielsen-Schreierの定理】自由群の部分群は自由群である. http://alg-d.com/math/ac/nielsen_schreier.html [⇒] 任意の体に対し,その代数閉包が一意に存在する. [ZFで証明可能] 濃度が可算な体は代数閉包を持つ. [⇒] 濃度が可算な体の代数閉包は一意的. [⇒]【Artin-Schreierの定理】体Kが「任意の正整数nに対し(x_1)^2+…+(x_n)^2≠-1 (x_i∈K)」を満たすならば,Kの全順序<で「x